电路理论补天
电路模型和电路定律
电路和电路模型
电路模型:由理想元件构成的电路称为电路模型。 - 集中参数电路假设条件:实际电路的尺寸远小于电路工作频率下电磁波的波长。(一般讨论电路为集中参数电路)
电流和电压参考方向:电流从电压高流向电压低的方向为关联参考方向,否则为非关联参考方向。
- 功率与电压、电流关联参考方向时表示吸收功率:$p=ui>0$电路吸收功率,$p=ui<0$电路发出功率。
电路元件
电阻
-
理想电阻元件:理想二端元件,在电路中体现消耗电能的特性,其特性可用平面内的一条曲线来描述,这样的二端元件称电阻元件。
-
单位:欧姆($\Omega$)
-
VCR关系:$U=RI$
电容
-
理想电容元件:理想二端元件,在电路中描述的是电路元件储存电场能量的特性,其 特性可用平面内的一条曲线来描述,这样的二端元件称电容元件。
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单位:法拉($F$)
-
VCR关系:$q=CU$
电感
-
理想电容元件:理想二端元件,在电路中描述的是电气设备、电路元器件储存磁场能量的特性,其特性可用韦安平面内的一条曲线来描述,这样的二端元件称电感元件。
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单位:亨利($H$)
-
VCR关系:$\Phi=Li$
电压源
-
理想电压源:理想二端元件,其两端总对外提供确定的电压,而与通过它的电流无关,称理想电压元件,简称电压源。
-
注意事项:(1)无论外电路如何,其端口处电压不随外电路变化而变化。(2)其电流由电压源和与其相连的外电路共同确定(3)电压源内阻为0
电流源
-
理想电流源:理想二端元件,其两端总对外提供确定的电流,而与它端子间的电压无关,称理想电流元件,简称电流源。
-
注意事项:(1)无论外电路如何,其端子处电流不随外电路变化而变化。(2)其端子间电压由电流源和与其相连的外电路共同确定(3)电流源内阻为无穷大。
受控电源
- 电压-电压型
$$ 特性方程: \begin{cases} u_s=\mu u_c \ i_c=0 \end{cases} $$
- 电流-电压型
$$ 特性方程: \begin{cases} u_s=r i_c \ u_c=0 \end{cases} $$
- 电压-电流型
$$ 特性方程: \begin{cases} i_s=g u_c \ i_c=0 \end{cases} $$
- 电流-电流型
$$ 特性方程: \begin{cases} i_s=\beta i_c \ u_c=0 \end{cases} $$
运算放大器
- 开环增益:$u_0=Au_i=A(u_+-u_-)$(A通常非常大)
- 理想运放模型:(1)虚短;(2)虚断;
理想变压器
- 满足如下电流-电压关系式:
$$
\begin{cases}
u_1=nu_2\
i_1=-\frac{1}{n}i_2
\end{cases}
$$
电路基本规律
基尔霍夫电流定律(KCL)
表述:对于集中参数电路,在任意时刻,任意节点,该节点处净流入电流为0。(对广义节点亦成立)
基尔霍夫电压定律(KVL)
表述:在集中参数电路中,在任一时刻,沿任一回路绕行一周,电位升之和等于电位降之和。
特勒根定理
对两个具有相同有向图的的电路,首先构造:$u_b=[u_1,u_2,\cdots,u_n]、i_b=[i_1,i_2,\cdots,i_n]$以及$\hat u_b=[\hat u_1,\hat u_2,\cdots,\hat u_n]、\hat i_b=[\hat i_1,\hat i_2,\cdots,\hat i_n]$
特勒根定理1:在同一个电路的某一时刻,有
$$ u_b^T(t)i_b(t)=0 $$
即功率守恒。
特勒根定理2:改变时间以及电路元件,只要两者有相同的有向图且取相同参考方向,特勒根定理依然成立,有
$$ u_b^T(t_1)\hat i_b(t_2) $$
$$
\hat u_b^T(t_3)i_b(t_4)
$$
又被称为似功率守恒定律。
电路分析的基本方法
电路的等效变换
电阻和独立电源的串并联
pass
星型和三角形等效变换
注:只考对称,三角形为星型电阻的三倍
电感和电阻的串联并联
电容串联相当于电阻的并联计算式,电感则和电阻计算一致。
电源转移
无伴电压源的转移:从主线上分到支线上,每一支线上的电压源和原电压源大小方向相等。
无伴电流源的转移:转移到每个电阻上和其并联,且大小方向不变。
$\star$ 受控电压源的等效变换参考独立电源。
含等压节点和零电流支路的等效变换
- 翻转对称:直接从等压线处切开,平行线断路,交叉线短接。
- 旋转对称:和翻转正好相反,旋转电路扭过$180\degree$即为翻转电路。
回路分析法
以网孔电流为电流向量$I$,得到电阻矩阵和电压升$U_s$。
$$ RI=U_s $$
其中,
$$ R= \left[ \begin{matrix} R_{11} & R_{12} & R_{13} \ R_{21} & R_{22} & R_{23}\ R_{31} & R_{32} & R_{33} \end{matrix} \right] $$
以三阶回路电阻矩阵为例,主对角线元素为自电阻,其余为互电阻,符号由参考方向是否同向确定。
节点分析法
和回路分析法类似,设节点电压向量为$U_n$,可以得到电导矩阵$G$,和相应的电流升。
$$ GU=I_s $$
$\star$电导矩阵互电导永远为负值。
电路的对偶性
网孔对应节点的原则:网孔方向和某一支路的参考方向相同,则流出节点。
简单的对偶关系:
原本 | 对偶 |
---|---|
电压 | 电流 |
KCL | KVL |
电阻 | 电导 |
电荷 | 磁通 |
电流源 | 电压源 |
开路 | 短路 |
节点 | 网孔 |
参考节点 | 外网孔 |
串联 | 并联 |
星型 | 三角 |
戴维宁 | 诺顿 |
互易定理1 | 互易定理2 |
电容 | 电感 |
阻抗 | 导纳 |
端口特性分析
一端口电路
一个节点方程
二端口电路
端口约束关系可化为如下两个线性方程:
$$ \left[ \begin{matrix} c_{11}&c_{12}\ c_{21}&c_{22} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} u_{1}\ u_{2} \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} d_{11}&d_{12}\ d_{21}&d_{22} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_{1}\ i_{2} \end{matrix} \right] = 0 $$
- $R$参数矩阵 $R\vec{i}=\vec{u}$
- $G$参数矩阵 $G\vec{u}=\vec{i}$
- $H$参数矩阵(第一混合参数矩阵)
$$ \left[ \begin{matrix} h_{11}&h_{12}\ h_{21}&h_{22} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_{1}\ u_{2} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} u_{1}\ i_{2} \end{matrix} \right] $$