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电路理论补天

电路模型和电路定律

电路和电路模型

电路模型：由理想元件构成的电路称为电路模型。 - 集中参数电路假设条件：实际电路的尺寸远小于电路工作频率下电磁波的波长。（一般讨论电路为集中参数电路）

电流和电压参考方向：电流从电压高流向电压低的方向为关联参考方向，否则为非关联参考方向。

  • 功率与电压、电流关联参考方向时表示吸收功率：$p=ui>0$电路吸收功率，$p=ui<0$电路发出功率。

电路元件

电阻

  • 理想电阻元件：理想二端元件，在电路中体现消耗电能的特性，其特性可用平面内的一条曲线来描述，这样的二端元件称电阻元件。

  • 单位：欧姆（$\Omega$）

  • VCR关系：$U=RI$

电容

  • 理想电容元件：理想二端元件，在电路中描述的是电路元件储存电场能量的特性，其 特性可用平面内的一条曲线来描述，这样的二端元件称电容元件。

  • 单位：法拉（$F$）

  • VCR关系：$q=CU$

电感

  • 理想电容元件：理想二端元件，在电路中描述的是电气设备、电路元器件储存磁场能量的特性，其特性可用韦安平面内的一条曲线来描述，这样的二端元件称电感元件。

  • 单位：亨利（$H$）

  • VCR关系：$\Phi=Li$

电压源

  • 理想电压源：理想二端元件，其两端总对外提供确定的电压，而与通过它的电流无关，称理想电压元件，简称电压源。

  • 注意事项：（1）无论外电路如何，其端口处电压不随外电路变化而变化。（2）其电流由电压源和与其相连的外电路共同确定（3）电压源内阻为0

电流源

  • 理想电流源：理想二端元件，其两端总对外提供确定的电流，而与它端子间的电压无关，称理想电流元件，简称电流源。

  • 注意事项：（1）无论外电路如何，其端子处电流不随外电路变化而变化。（2）其端子间电压由电流源和与其相连的外电路共同确定（3）电流源内阻为无穷大。

受控电源

  • 电压-电压型

$$ 特性方程: \begin{cases} u_s=\mu u_c \ i_c=0 \end{cases} $$

  • 电流-电压型

$$ 特性方程: \begin{cases} u_s=r i_c \ u_c=0 \end{cases} $$

  • 电压-电流型

$$ 特性方程: \begin{cases} i_s=g u_c \ i_c=0 \end{cases} $$

  • 电流-电流型

$$ 特性方程: \begin{cases} i_s=\beta i_c \ u_c=0 \end{cases} $$

运算放大器

  • 开环增益：$u_0=Au_i=A(u_+-u_-)$(A通常非常大)
  • 理想运放模型：（1）虚短；（2）虚断；

理想变压器
- 满足如下电流-电压关系式：

$$ \begin{cases} u_1=nu_2\ i_1=-\frac{1}{n}i_2
\end{cases} $$

电路基本规律

基尔霍夫电流定律（KCL）

表述：对于集中参数电路，在任意时刻，任意节点，该节点处净流入电流为0。（对广义节点亦成立）

基尔霍夫电压定律（KVL）

表述：在集中参数电路中，在任一时刻，沿任一回路绕行一周，电位升之和等于电位降之和。

特勒根定理

对两个具有相同有向图的的电路，首先构造：$u_b=[u_1,u_2,\cdots,u_n]、i_b=[i_1,i_2,\cdots,i_n]$以及$\hat u_b=[\hat u_1,\hat u_2,\cdots,\hat u_n]、\hat i_b=[\hat i_1,\hat i_2,\cdots,\hat i_n]$

特勒根定理1：在同一个电路的某一时刻，有

$$ u_b^T(t)i_b(t)=0 $$

即功率守恒。

特勒根定理2：改变时间以及电路元件，只要两者有相同的有向图且取相同参考方向，特勒根定理依然成立，有

$$ u_b^T(t_1)\hat i_b(t_2) $$

$$ \hat u_b^T(t_3)i_b(t_4) $$
又被称为似功率守恒定律。

电路分析的基本方法

电路的等效变换

电阻和独立电源的串并联

pass

星型和三角形等效变换

注：只考对称，三角形为星型电阻的三倍

电感和电阻的串联并联

电容串联相当于电阻的并联计算式，电感则和电阻计算一致。

电源转移

无伴电压源的转移：从主线上分到支线上，每一支线上的电压源和原电压源大小方向相等。

无伴电流源的转移：转移到每个电阻上和其并联，且大小方向不变。

$\star$ 受控电压源的等效变换参考独立电源。

含等压节点和零电流支路的等效变换

  • 翻转对称：直接从等压线处切开，平行线断路，交叉线短接。
  • 旋转对称：和翻转正好相反，旋转电路扭过$180\degree$即为翻转电路。

回路分析法

以网孔电流为电流向量$I$,得到电阻矩阵和电压升$U_s$。

$$ RI=U_s $$

其中，

$$ R= \left[ \begin{matrix} R_{11} & R_{12} & R_{13} \ R_{21} & R_{22} & R_{23}\ R_{31} & R_{32} & R_{33} \end{matrix} \right] $$

以三阶回路电阻矩阵为例，主对角线元素为自电阻，其余为互电阻，符号由参考方向是否同向确定。

节点分析法

和回路分析法类似，设节点电压向量为$U_n$，可以得到电导矩阵$G$,和相应的电流升。

$$ GU=I_s $$

$\star$电导矩阵互电导永远为负值。

电路的对偶性

网孔对应节点的原则：网孔方向和某一支路的参考方向相同，则流出节点。

简单的对偶关系：

原本 对偶
电压 电流
KCL KVL
电阻 电导
电荷 磁通
电流源 电压源
开路 短路
节点 网孔
参考节点 外网孔
串联 并联
星型 三角
戴维宁 诺顿
互易定理1 互易定理2
电容 电感
阻抗 导纳

端口特性分析

一端口电路

一个节点方程

二端口电路

端口约束关系可化为如下两个线性方程：

$$ \left[ \begin{matrix} c_{11}&c_{12}\ c_{21}&c_{22} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} u_{1}\ u_{2} \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} d_{11}&d_{12}\ d_{21}&d_{22} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_{1}\ i_{2} \end{matrix} \right] = 0 $$

  • $R$参数矩阵 $R\vec{i}=\vec{u}$
  • $G$参数矩阵 $G\vec{u}=\vec{i}$
  • $H$参数矩阵(第一混合参数矩阵)

$$ \left[ \begin{matrix} h_{11}&h_{12}\ h_{21}&h_{22} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_{1}\ u_{2} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} u_{1}\ i_{2} \end{matrix} \right] $$